I. PENGERTIAN

Bentuk : 2,3,4,5,6,…..

3,6,9,12,15, ….

2,3,5,7,11,13, …..

Masing-masing disebut barisan. Jadi barisan adalah suatu urutan bilangan dengan suatu aturan tertentu. Atau, barisan merupakan nilai dari suatu fungsi yang domainnya bilangan asli.

II. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA ( Deret Hitung)

Contoh : 2,4,6,8,10, ….

Suku barisan

Barisan bilangan u1, u2, u3, ……. , un (un = rumus suku ke n) disebut barisan aritmatika (BA) jika berlaku sifat u2 – u1 = u3 – u2 = un – un-1 = konstanta ( konstan = beda, disingkat b).

Barisan aritmatika juga ditulis dengan : a, a + b, a + 2b, ….., a + ( n - 1) b di mana a adalah suku pertama, b beda, dan n adalah banyaknya suku. Rumus suku ke n barisan aritmatika adalah :

_ Jumlah suku

Jika u1, u2, u3, ……. , un barisan aritmatika maka u1 + u2 + u3 + … + un disebut deret aritmatika (DA). Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

_ Sifat – sifat :

a. Beda = un – un-1 , jika b > 0 disebut BA naik , dan b <>BA turun.

b. Un = Sn – S(n-1)

Un = a + (n-1)b

Sn = ½ n (a + Un)2

= ½ n[2a + (n-1)b ]

c. Jika a, b, dan c adalah BA maka berlaku 2b = a + c ( a, b, c dapat ditulis x – b, x, x + b )

d. Jika n ganjil maka suku tengahnya Ut = . ( a + Un)

e. Sisipan : jika antara bilangan x dan y disisipkan k bilangan lain sehingga membentuk BA baru, berlaku

UNSUR BA (LAMA) BA (BARU)

• Suku pertama a a’ = a

• Suku terakhir Un Un’ = Un

• Beda b b‘ = b/ (k + 1)

• Banyak suku n n‘ = n + (n – 1)k

• Jumlah suku Sn Sn’ = (n’/n).Sn

Catatan :

Jika a, b, c adalah BA maka 1/a, 1/b, 1/c disebut barisan harmonis.

III. BARISAN DAN DERET GEOMETRI ( Deret ukur)

Contoh : 2,4,8,16, ….

Suku barisan

Barisan bilangan u1, u2, u3, ……. , un (un = rumus suku ke n) disebut barisan geometri (BG) jika berlaku sifat (u2 : u1) = (u3 : u2) = (un : un-1) = konstanta ( konstan = rasio = pembanding, disingkat r). Barisan geometri juga ditulis dengan : a, ar, a(r)2 , ….., a(r)n – 1, di mana a = suku pertama dan r = rasio, n = banyak suku.

Rumus suku ke n nya adalah :

_ Jumlah suku

Jika u1, u2, u3, ……. , un barisan geometri maka u1 + u2 + u3 + … + un disebut deret geometri (DG).

Jumlah n suku pertama deret geometri adalah :

_ Sifat-sifat :

a. Suku ke - n sama dengan Un = Sn – S(n – 1)

b. Barisan geometri naik jika r > 1, turun jika 0 < style=""> jika, r <0.

c. Jika a, b, c barisan geometri, berlaku b2 = a.c ( a, b, c dapat ditulis sebagai Un = a.rn – 1 b/r , b, br ; r = rasio).

d. Andaikan jumlah suku n ganjil maka suku tengah (Ut) adalah : Ut = a. Un

e. Sisipan : Jika antara 2 suku x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk BG baru maka berlaku :

UNSUR BG ( LAMA) BG ( BARU)

• Suku pertama a a’ = a

• Suku terakhir Un Un’ = Un

• Rasio/ pembanding r r’ = k +1 r

• Banyak suku n n’ = n + (n – 1).k

f. Hasil kali n suku pertamanya : 2

IV. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Contoh : 1,3, 9, 27, ………

_ Jumlah suku

Jumlah deret geometri tak berhingga disebut deret KONVERGEN.

_ Jumlah suku urutan ganjil adalah 1 r 2

_ Jika suku-sukunya genap berlaku, , 1 1 2<−= p p ap Sgenap _ Rasio ( r ) ,ganjil genap S r =1 r

V. SOAL TERJAWAB

1. Diketahui : 3,7,11, …. Hitunglah suku ke - 50 dan jumlah 10 suku pertama ? (Jawab 99 dan 210)

2. Jika (3 17) 2 = n − n Sn maka rumus suku ke - n dan nilai suku ke 10 - nya ? ( 3n – 10 dan 20)

3. Suatu barisan aritmatika, besar suku ke 3 nya 9, jumlah suku ke 5 dan ke 7 adalah 36. Berapa besar suku ke 10 nya ? (30)

4. Antara bilangan 23 dan 119 disisipkan 11 bilangan , maka jumlah bilangan – bilangan tersebut adalah ? (923)

5. Suku ke - n barisan √2, 2, 2√2, ….. adalah ? (2n/2)

6. Dua suku pertama barisan geometri adalah log 2 dan log 4. Tentukan suku ke- 3 dan ke- 4 nya ? (log 16 dan log 256)

7. Jumlah deret geometri tak berhingga 12, 9, 27/4, ……. ? (48)

8. 2,45 = ………. ( 27/11)

9. 8,51 = ……….(281/33)

10. 6,405 = ……….(237/37)

V. Soal - soal latihan

Deret Aritmatika

Hitunglah beda, Un dan Sn untuk barisan soal 01 - 05:

01. 15, 17, 19. …………

02. p, 2p, 3p, ………….

03. 10, 5, 0, ……………

04. Jika Un = 3n + 6 hitunglah S5 dan S12 ?

05. Jika Un = 5 - 4n, hitunglah S8 dan S20 ?

06. Jumlah bilangan 8, 11, 14, ….. sampai suku ke 20 adalah ?

07. Jumlah 87, 81, 75, ………., - 9 adalah ?

08. Suatu deret aritmatika a = 4, n = 80, U10 - U6 = 24, hitunglah S n 09. Suku ke 19 dan ke 30 BA berturut - turut 125 dan 169, suku ke 25 10. Suatu BA, U9 = 25 dan S9 = 153, tentukan U12 ?

11. Tentukan x jika x + 2, 2x, 4x - 7 adalah suatu BA ?

12. Tentukan x jika 4x , 5x + 4, 3x2 - 1 adalah suatu BA ?

13. Turunkan rumus jumlah n bilangan asli pertama.

14. Turunkan rumus jumlah n bilangan ganjil pertama. Hitunglah suku ke 6 ?

15. Apabila akar - akar x4 - 8x3 + px2 - qx + r = 0 membentuk deret arimatika dengan beda 2, hitunglah p, q dan r ?

16. Tentukan bilangan bulat terkecil jika 1 + 2 + 3 + …….+ n > 600 ?

17. Tentukan bilangan bulat terbesar jika 1 + 2 + 3 + …….+ n <>

Deret Geometri

Hitung rasio, Un, Sn untuk barisan no 26 - 30 berikut :

18. 2, 10, 50, ………. ( n = 8)

19. 3, 0.3, 0.03, ……….(n = 10)

20. 1, 1.02, (1.02)2, ………( n = 7)

21. 2, 2√5, 10, …………….(n = 16)

22. 6 - 3√3, 3, 6 + 3√3, ………..(n =6)

23. Diketahui U5 = 16, r = 2/5 , tentukan a dan S5 ?

24. Diketahui a = - 15, Un = 405, Sn = 300, tentukan r dan n ?

25. Jumlah pertama dan keenam sama dengan 244, hasilkali suku ke tiga dan ke empat sama dengan 243. Hitunglah rasionya ?

26. Tentukan x jika x, 2x + 7, 10x - 7 merupakan barisan geometri ?

27. Tentukan x jika 11 - x, 2x - 1, 9x + 3 merupakan BG ?

28. Tentukan p, jika p - 2, p - 6, 2p + 3 merupakan BG ?

29. Tentukan p, jika 3p + 4, k - 2, 5k + 1 merupakan BG ?

30. Jika k + 1 adalah rata - rata geometri 4k + 2 dan (k + 5)/7, tentukan k ?

31. Tunjukkan bahwa 2n - 1 merupakan deret geometri ?

33. Tiga bilangan membentuk deret geometri; jumlahnya - 30, hasil perkaliannya 8000. Bilangan manakah itu ?

34. Tiga bilangan membentuk deret geometri; jumlahnya 28, hasil perkaliannya 512. Bilangan manakah itu ?

35. Suku pertama deret geometri 3 p , sedangkan suku ketiga adalah p. Maka suku ke 15 adalah ?

36. Sebuah BG, a = 2, r = 3. Tentukan n bulat terkecil jika Un > 1012

37. Antara bilangan 2 dan 120 disisipkan 12 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Hitunglah jumlah deret tersebut ?

38. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku tengah dikurangi 5 terbentuklah barisan geometri dengan rasio 2. Tentukan barisan yang dimaksud ?

39. Akar - akar persamaan kuadrat 2x2 + (7k - 1) - 20x = 0 merupakan suku pertamadan kedua dari BG dengan rasio lebih besar 1. Jika kedua akar berbanding 2 dan 3, maka nilai suku ke empat ?

40. Jika x1 dan x2 akar - akar persamaan kuadrat x2 - (2p + 4)x + (3p + 4) = 0. Kedua akar itu bilangan x1 dan x2 , dan p konstan. Jika x1, p, x2 merupakan tiga suku pertama deret gometri, maka suku ke n nya ?

41. Jika p dan q akar - akar x2 + ax + b = 0, dan 6, p, q adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan p, q, 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah ?

Deret Geometri Tak Berhingga

42. log 2 + log 4 + ……

43. 1 + 0.8 + 0.64 + …….

44. 3/2 , 1, 2/3, ……..

45. 3,66 = ……….

46. 0,123 = ………

47. Deret geometri turun tak terhingga, U1 - U3 = 8, 3log U1 + 3log U2 + 3log U1 = 3, maka jumlah deretnya ?

48. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 6 kaki, sesampainya dipermukaan lantai datar bola memantul kembali ke atas sejauh 3/4 kali tinggi sebelumnya. Hitung panjang lintasan yang dilalui bola ?

49. Di dalam suatu lingkaran berjari - jari a cm dilukis bujur sangkar dengan titik sudutnya pada lingkaran, titik pusat lingkaran sekaligus merupakan titik pusat bujur sangkar. Selanjutnya dalam bujur sangkar tsb dilukis lingkaran kedua menyinggung sisi - sisi bujur sangkar tadi. Demikian seterusnya. Hitunglah :

a. Jumlah keliling bujur sangkar

b. Jumlah keliling lingkaran

50. Jika deret geometri konvergen dengan limit - 8/3 dan suku ke- 2 dan ke – 4 ?